筑波大学附属駒場中学校2026年度算数の大問3です。

円周上を反対向きに動く2点について、出会う時刻と弦の長さが等しくなる回数を周期で考える問題です。問題の条件を順に整理していきます。

問題

以下の問題図版は、解説のために筑波大学附属駒場中学校の入試問題を、四谷大塚 入試解答速報掲載資料から引用しています。

問題と解答は、四谷大塚 入試解答速報の掲載資料で確認できます。解答は参考資料として用い、本文の計算は独立に検算しています。
問題（PDF）
解答（PDF）

考え方

円周は360cmで、AとBは直径の両端なので、AからBまでの半周は360÷2＝180（cm）です。円周上の道のりと、Aから各点へ引いた弦の長さを区別して考えます。

（1）初めて重なる時刻

PとQは反対向きに進むため、2点が近づく速さは毎秒7＋3＝10（cm）です。初めは半周分の180cm離れているので、180÷10＝18（秒）。実際、Pは7×18＝126（cm）、Qは3×18＝54（cm）進み、合計が180cmになります。したがって、答えは18秒後です。

（2）PがB、QがAに同時に重なる時刻

QがBからAへ初めて着くのは180÷3＝60（秒）後です。その後、Qは1周するのに360÷3＝120（秒）かかるため、Aにいる候補は60秒後、180秒後、300秒後……です。60秒後のPの道のりは7×60＝420＝360＋60（cm）なので、PはBにいません。180秒後は、Pが7×180＝1260＝360×3＋180（cm）進んでBにいます。Qも3×180＝540＝360＋180（cm）進んでAにいます。これより前の候補は60秒後だけなので、答えは180秒後です。

（3）2本の弦の長さが等しくなる回数

円周上で、Aから引いた弦の長さが等しくなるのは、PとQが同じ点にいる場合と、直径ABを軸として線対称の位置にいる場合です。

同じ点にいるのは（1）の18秒後が最初です。その後は、2点が合わせて1周分進む360÷（7＋3）＝36（秒）ごとなので、18秒後、54秒後、……、450秒後です。480秒後までの個数は、（450－18）÷36＋1＝13（回）です。次は486秒後で範囲外です。

次に、Qを直径ABに対して線対称の位置へ移して考えます。この点はBから時計回りに毎秒3cmで進みます。Pも時計回りに毎秒7cmで進むので、Pは180cmの差を毎秒7－3＝4（cm）ずつ縮めます。最初に追いつくのは180÷4＝45（秒）後で、その後は360÷4＝90（秒）ごとです。45秒後、135秒後、225秒後、315秒後、405秒後の5回で、次は495秒後です。

前の13回はすべて偶数秒、後の5回はすべて奇数秒なので重なりません。0秒ではAPの長さは0cm、AQの長さは直径の長さで等しくなく、480秒後もどちらの並びにも入りません。したがって、13＋5＝18（回）。答えは18回です。