鴎友学園女子中学校2025年度第2回算数の大問2です。
2025を整数Xで割った値の整数部分が30になる範囲を考える問題です。問題の条件を順に整理していきます。
問題
以下の問題図版は、解説のために鴎友学園女子中学校の公表問題から引用しています。
公式の問題と解答は、学校の公表資料でも確認できます。
問題（PDF）
解答（PDF）
「整数部分が30」の意味
［A］は、A以下の整数のうち最大のものを表します。したがって、［2025÷X］＝30となるためには、2025÷Xが30以上31未満でなければなりません。30ちょうどは含まれますが、31ちょうどになると整数部分が31になるので含まれません。よって、条件は
30≦2025÷X＜31
です。また、この範囲にある数は正の数です。2025は正の数なので、Xも正の整数でなければなりません。なお、X＝0では割り算ができません。
30以上になる条件
まず、30≦2025÷Xを考えます。Xは正の数なので、両辺にXをかけても不等号の向きは変わりません。
30×X≦2025
したがって、
X≦2025÷30＝67.5
となります。Xは整数なので、67.5以下の整数は67以下です。ここでは67.5を四捨五入するのではなく、「67.5以下」という条件に合う整数を選びます。
31未満になる条件
次に、2025÷X＜31を考えます。同じように両辺に正の数Xをかけると、
2025＜31×X
となります。31×65＝2015では2025より小さく、条件を満たしません。一方、31×66＝2046は2025より大きいので、Xは66以上です。したがって、2つの条件を合わせると、
66≦X≦67
となります。この範囲にある整数は66と67です。
答えの確かめ
X＝66のとき、30×66＝1980、31×66＝2046より、1980≦2025＜2046です。したがって、30≦2025÷66＜31となります。X＝67のときも、30×67＝2010、31×67＝2077より、2010≦2025＜2077なので条件を満たします。
さらに、直前の65では31×65＝2015のため2025÷65は31より大きく、直後の68では30×68＝2040のため2025÷68は30より小さくなります。よって、ほかに当てはまる整数はありません。
公式答え：66、67