鴎友学園女子中学校2025年度第2回算数の大問5です。

平行四辺形の辺上の点と交点から、線分比と面積比を順に求める問題です。問題の条件を順に整理していきます。

問題

以下の問題図版は、解説のために鴎友学園女子中学校の公表問題から引用しています。

公式の問題と解答は、学校の公表資料でも確認できます。
問題（PDF）
解答（PDF）

（1）AG：GDを求める

CEの延長とDAの延長の交点をPとします。三角形PAEと三角形CBEでは、PAとCBが平行で、P・E・C、A・E・Bがそれぞれ一直線上にあるため、2組の角が等しく相似です。したがって、AE：EB＝1：3から、PA：BC＝PE：EC＝1：3です。よって、ア：イ＝1：3となります。

ECを9とすると、PE＝3です。また、EH：HC＝4：5なので、EH＝4、HC＝5です。P・E・H・Cの順に並んでいるため、PH＝PE＋EH＝3＋4＝7となり、PH：HC＝7：5です。

三角形PGHと三角形CFHでは、PGとFCが平行で、P・H・C、G・H・Fがそれぞれ一直線上にあるため相似です。したがって、PG：FC＝PH：HC＝7：5です。よって、ウ：エ＝7：5となります。

具体的な長さを求めるため、BC＝AD＝75とします。PA：BC＝1：3よりPA＝25です。また、BF：FC＝1：4よりFC＝75×4÷5＝60なので、PG＝60×7÷5＝84です。P・A・G・Dの順に並ぶため、AG＝PG－PA＝84－25＝59です。一方、PD＝PA＋AD＝25＋75＝100なので、GD＝PD－PG＝100－84＝16です。したがって、AG：GD＝59：16、つまりオ：カ＝59：16です。

（2）四角形GHCDの面積比を求める

三角形GCDと三角形ACDは、底辺GD、ADが同じ直線上にあり、Cからその直線までの高さが共通です。したがって、面積比はGD：AD＝16：75となり、三角形GCDの面積は三角形ACDの16/75倍です。よって、キ＝16/75です。三角形ACDは平行四辺形ABCDの半分なので、三角形GCDは平行四辺形の8/75です。

次に三角形FHCを考えます。AE：EB＝1：3より、EのBCからの高さは平行四辺形の高さの3/4です。さらにEH：HC＝4：5なので、Hの高さはEの高さの5/9、すなわち全体の3/4×5/9＝5/12です。FC：BC＝4：5より、三角形FHCの面積は平行四辺形の1/2×4/5×5/12＝1/6です。

相似からGH：HF＝7：5です。三角形GHCと三角形FHCは底辺HCを共有し、G・H・Fが一直線上にあるため、高さの比もGH：HF＝7：5です。よって、三角形GHCは平行四辺形の1/6×7/5＝7/30です。四角形GHCDは、辺GCを境に三角形GHCと三角形GCDに分かれるので、その面積比は7/30＋8/75＝35/150＋16/150＝51/150＝17/50です。したがって、ク＝17/50です。

ア：イ＝1：3、ウ：エ＝7：5、オ：カ＝59：16、キ＝16/75、ク＝17/50