鴎友学園女子中学校2025年度第2回算数　大問4「同じ数字を並べた数の余り」

鴎友学園女子中学校2025年度第2回算数の大問4です。

3や9をたくさん並べた数を、37で割った余りを考えます。これをそのまま割り算することはできません。37と、3桁の数との関係に気がつくかどうかがポイントです。

問題

以下の問題図版は、解説のために鴎友学園女子中学校の公表問題から引用しています。

999と1000に注目する

まず、37の倍数を少し調べます。

37×27＝999

したがって、999は37で割り切れます。また、1000は999より1大きい数ですから、37で割った余りは1です。

ここが分かれば、同じ数字が長く続く数を、右から3桁ずつ区切って考えることができます。3桁左へ動くことは1000倍することですが、1000を37で割った余りは1です。したがって、1000倍しても余りは変わりません。

33333333を、右から3桁ずつ区切ります。

33｜333｜333

333は、

333＝37×9

ですから、37で割り切れます。右の333も、真ん中の333も余りは0です。左に残った33は1000を2回かけた位置にありますが、1000倍しても余りは変わりません。

したがって、33333333を37で割った余りは33です。

答え　33

こちらも右から3桁ずつ区切ります。

2024＝3×674＋2

ですから、999のかたまりが674個できて、いちばん左に99が残ります。

99｜999｜999｜……｜999

999は37で割り切れますから、674個ある999のかたまりは、どれも余りを残しません。考えればよいのは、いちばん左の99だけです。

99＝37×2＋25

99がどれだけ左にあっても、1000倍するたびに余りは変わりません。したがって、求める余りは25です。

答え　25

同じ数字が長く並ぶと、とても大きな数に見えます。しかし、割る数の近くに9、99、999のような数がないかを調べると、まとまりで考えられることがあります。

この問題では、37×27＝999を見つけたことで、2024個の9も3桁ずつ整理できました。大きな数を作ろうとせず、割り切れるかたまりを探すことが大切です。

数の性質をまとめて復習したい方は、「これでわかる数の問題」もご覧ください。