鴎友学園女子中学校2025年度第2回算数　大問3「半円とおうぎ形の面積」

鴎友学園女子中学校2025年度第2回算数の大問3です。

直角二等辺三角形、半円、おうぎ形を組み合わせた斜線部分の面積です。問題の条件を順に整理していきます。

問題

以下の問題図版は、解説のために鴎友学園女子中学校の公表問題から引用しています。

公式の問題と解答は、学校の公表資料でも確認できます。
問題（PDF）
解答（PDF）

図の点と長さを整理する

左下の頂点をA、右下の頂点をB、上の頂点をCとします。Bを中心とする弧と辺BCの交点をD、半円の弧と辺BCの交点をP、半円の中心をOとします。AB＝6cmで、円周率は3.14を使います。

三角形ABCはAが直角の直角二等辺三角形なので、AB＝AC＝6cm、角B＝45度です。したがって、三角形ABCの面積は、6×6÷2＝18cm²です。

AからDまでの弧は、Bを中心とする半径6cmのおうぎ形の弧です。実際、BA＝BD＝6cmで、中心角ABDは三角形ABCの角Bと同じ45度です。

左側の斜線部分は、三角形ABCから、このおうぎ形ABDを取り除いた部分です。おうぎ形の面積は、6×6×3.14×45÷360＝14.13cm²です。よって、左側は、18－14.13＝3.87cm²となります。

半円はABを直径とするので、半径は6÷2＝3cmです。OとPを結ぶと、OB＝OP＝3cmです。また、BOはBAと同じ向き、BPはBCと同じ向きに伸びているため、角OBPは45度です。

三角形OBPはOB＝OPの二等辺三角形なので、角BPOも45度です。したがって、角BOPは180－45－45＝90度となります。右側の斜線部分は、半円の弧PBと線分PBにはさまれた部分です。これは、中心角90度のおうぎ形OBPから三角形OBPを引けば求められます。

おうぎ形OBPの面積は、3×3×3.14×90÷360＝7.065cm²です。三角形OBPはOを直角とするので、その面積は3×3÷2＝4.5cm²です。よって、右側は、7.065－4.5＝2.565cm²となります。

左側と右側は重なっていないので、3.87＋2.565＝6.435cm²です。別の形でまとめても、18－14.13＋7.065－4.5＝6.435となり、計算結果を確かめられます。

答え　6.435cm²