鴎友学園女子中学校2025年度第2回算数の大問7です。

立方体を3点を通る平面で切断し、点Pを含む立体の体積を求める問題です。問題の条件を順に整理していきます。

問題

以下の問題図版は、解説のために鴎友学園女子中学校の公表問題から引用しています。

公式の問題と解答は、学校の公表資料でも確認できます。
問題（PDF）
解答（PDF）

点の位置と切断面

前面右下の頂点をOとし、Oから前の下辺を左へ進む向きをx、右側の下辺を奥へ進む向きをy、上向きをzとします。各座標は0から6までです。図の3cmはAからOまでとOからBまでを表すので、Aは（3，0，0）、Bは（0，3，0）です。Cは右奥の下の頂点から2cm上にあるため（0，6，2）、PはOの真上の頂点なので（0，0，6）です。

A、B、Cを通る平面を式で表すと、z＝2／3×（x＋y−3）となります。AとBでは右辺が0、Cでは2となるため、確かに3点を通ります。また、Pでは平面の高さが−2ですが、Pの高さは6なので、Pはこの平面より上側にあります。そこで、まずPを含まない下側の体積を求め、立方体全体から引きます。

下側の範囲を分ける

底面ではz＝0です。x＋y＜3の場所では平面の高さが負になり、切断面が立方体の底面より下にあるため、下側の立体には厚さがありません。したがって、厚さがあるのはx＋y≧3の範囲です。x＋y＝3は線分ABであり、境界は厚さ0なので体積には影響しません。

前面左下をD、左奥下をE、右奥下をFとすると、Dは（6，0，0）、Eは（6，6，0）、Fは（0，6，0）です。下側の底面は五角形A－D－E－F－Bになります。各点から切断面までの高さは、A、D、E、F、Bの順に0cm、2cm、6cm、2cm、0cmです。Eでは高さが6cmなので、切断面はEの真上の頂点も通ります。

この五角形を三角形ADE、AEF、AFBに分けます。面積は順に、3×6÷2＝9cm²、6×6÷2＝18cm²、3×3÷2＝9／2cm²です。三角形の3頂点での高さがa、b、cのとき、その上の体積は「三角形の面積×（a＋b＋c）÷3」で求められます。平面までの高さが一定の割合で変わるので、三角形全体の平均の高さが3頂点の高さの平均になるためです。

よって3部分の体積は、9×（0＋2＋6）÷3＝24cm³、18×（0＋6＋2）÷3＝48cm³、9／2×（0＋2＋0）÷3＝3cm³です。下側は24＋48＋3＝75cm³となります。

点Pを含む側の体積

立方体全体は6×6×6＝216cm³です。点Pを含む側は下側の残りなので、216−75で求められます。この結果は公式解答とも一致します。

141cm³