ラ・サール中学校2026年度1月入試算数の大問4です。

整数の後に分数が規則的に並ぶ数列から、指定された位置と1が現れる位置を求める問題です。問題の条件を順に整理していきます。

問題

以下の問題図版は、解説のためにラ・サール中学校の公表問題から引用しています。

公式の問題と解答は、学校の公表資料でも確認できます。
問題（PDF）
解答（PDF）

数列をまとまりに分ける

整数から次の整数の直前までを一つのまとまりと考えます。第1のまとまりは1、第2は2、1/2、第3は3、1、1/3です。第4は4、1 1/2、2/3、1/4となっています。

これらを仮分数で表すと、第nのまとまりには、n/1、(n−1)/2、(n−2)/3、…、1/nの順にn個の数が並びます。問題では、3/2を1 1/2、2/2を1のように帯分数や整数で表しているだけなので、項の位置や個数は変わりません。

（1）99番目の数

第nのまとまりまでの項数は、1＋2＋…＋nです。第13のまとまりまででは、13×14÷2＝91個、第14のまとまりまででは、14×15÷2＝105個です。99は91より大きく105以下なので、99番目の数は第14のまとまりにあります。

第14のまとまりの中での位置は、99−91＝8番目です。第nのまとまりのk番目では、分母がk、分子がn−k＋1です。したがって、第14のまとまりの8番目は、分母が8、分子が14−8＋1＝7となり、7/8です。

（2）10回目の1が現れる位置

第nのまとまりのk番目は、(n−k＋1)/kです。この数が1になるのは分子と分母が等しいときなので、n−k＋1＝k、つまりn＋1＝2kとなります。kが整数になるのはnが奇数のときだけです。そのため、1は第1、第3、第5、…のまとまりに一つずつ現れます。

10回目の1が現れるのは、10番目の奇数である2×10−1＝19より、第19のまとまりです。また、19＋1＝2kからk＝10なので、そのまとまりの10番目にあります。

第18のまとまりまでの項数は、18×19÷2＝171個です。よって、全体での位置は171＋10＝181番目です。第19のまとまりは172番目から190番目までなので、181番目がこの範囲に入ることも確認できます。

（1）7/8、（2）181番目