洗足学園中学校2026年度第1回算数の大問3です。

各問の正解者数から2問とも正解した人数の範囲と全問正解者を保証する人数を考える問題です。問題の条件を順に整理していきます。

問題

以下の問題図版は、解説のために洗足学園中学校の公表問題から引用しています。

公式の問題と解答は、学校の公表資料でも確認できます。
問題（PDF）
解答（PDF）

（1）第1問と第2問の両方を正解した人数

第1問の正解者45人と第2問の正解者38人を合わせると、45＋38＝83人分です。生徒は50人なので、同じ人を重ねずに数えられるのは50人分までです。したがって、83－50＝33人は必ず両方に含まれます。

33人が最少になることも確かめます。両方を正解した人を33人、第1問だけを正解した人を45－33＝12人、第2問だけを正解した人を38－33＝5人とすると、33＋12＋5＝50人です。条件に合う分け方を作れるので、最少は33人です。

また、両方を正解した人は、正解者が少ない第2問の38人を超えません。第2問の正解者38人が全員、第1問も正解した場合には38人となるので、最大は38人です。よって、両方を正解した人数は33人以上38人以下です。

（2）全問正解者を必ず1人以上にする人数

全問正解者がいないとすると、50人全員が少なくとも1問はまちがえていることになります。そのためには、4問をまちがえた人数の合計が少なくとも50人分必要です。

第1問をまちがえた人数は50－45＝5人、第2問は50－38＝12人、第3問は50－40＝10人です。第4問の正解者が28人なら、まちがえた人数は50－28＝22人です。まちがえた人数の合計は、5＋12＋10＋22＝49人分にしかなりません。50人全員が1問以上まちがえることはできないので、少なくとも1人はどの問題もまちがえず、全問正解となります。第4問の正解者が28人より多い場合も、まちがえた人数はさらに少なくなるため、同じことがいえます。

境目を確かめるため、第4問の正解者が27人の場合を考えます。第4問をまちがえた人は23人で、まちがえた人数の合計は5＋12＋10＋23＝50人分です。50人を5人、12人、10人、23人の重ならない4組に分け、各組がそれぞれ第1問、第2問、第3問、第4問だけをまちがえたとすれば、各問の正解者数はすべて条件に合いますが、全問正解者はいません。したがって、全問正解者を必ず1人以上にできる境目は28人です。

確認済みの答え

（1）33人以上38人以下、（2）28人