鴎友学園女子中学校2026年度第2回算数の大問3です。

等しい長さから二等辺三角形を見つけ、平行四辺形の角度を求める問題です。問題の条件を順に整理していきます。

問題

以下の問題図版は、解説のために鴎友学園女子中学校の公表問題から引用しています。

公式の問題と解答は、学校の公表資料でも確認できます。
問題（PDF）
解答（PDF）

辺BC上に補助点Fを取る

図より、Eは辺ADの両端ではなく、その内側にあります。平行四辺形の向かい合う辺は等しいので、AD＝BCです。また、0＜AE＜ADです。そこで、辺BC上にBF＝AEとなる点Fを取ると、0＜BF＜BCとなるため、FはBやCとは重ならず、辺BCの内側にあります。

AEとBFは平行で、AE＝BFです。したがって、四角形AEFBは平行四辺形になり、EF＝AB、EF∥ABです。条件AB＝AE＝ECからAB＝ECでもあるので、EF＝ECです。よって、三角形EFCは二等辺三角形です。

角の大きさの関係を整理する

AB＝AEより、三角形ABEも二等辺三角形です。そのため、底角である∠ABEと∠BEAは等しくなります。また、平行四辺形ではAD∥BCで、A、E、Dは一直線上にあるので、AE∥BCです。BEを横切る直線として見ると、錯角より∠BEA＝∠EBCです。したがって、∠ABE＝∠EBCとなり、∠ABCは∠EBCの2目盛り分です。

次に、EF＝ECである三角形EFCでは、底角が等しいので、∠EFC＝∠FCEです。Fは辺BC上にあるため、∠FCE＝∠BCEです。一方、EF∥ABで、FCとBCは同じ直線上にあるので、∠EFC＝∠ABCです。よって、∠BCE＝∠ABCとなり、∠BCEも∠EBCの2目盛り分です。

三角形BECの内角の和を使う

さらに、条件BE＝BCより、三角形BECは二等辺三角形です。底角である∠BECと∠BCEは等しいので、∠BECも∠EBCの2目盛り分になります。

三角形BECの3つの角は、∠EBCが1目盛り分、∠BECと∠BCEがそれぞれ2目盛り分です。合計5目盛り分が180度なので、1目盛り分は180÷5＝36度です。したがって、求める∠BECは36×2＝72度です。

確かめると、三角形BECの角は36度、72度、72度で、合計は180度です。また、∠BEC＝∠BCEとなり、BE＝BCという条件にも合います。

答え　72度