鴎友学園女子中学校2026年度第2回算数　大問5「台形の線分比と面積比」

鴎友学園女子中学校2026年度第2回算数の大問5です。

台形の対角線と2本の線がつくる交点から、線分比と面積比を求める問題です。問題の条件を順に整理していきます。

問題

以下の問題図版は、解説のために鴎友学園女子中学校の公表問題から引用しています。

公式の問題と解答は、学校の公表資料でも確認できます。
問題（PDF）
解答（PDF）

比を目盛りに直す

BCを7目盛り、ADを6目盛りとします。BE：EC＝3：4なので、BEは3目盛り、ECは4目盛りです。これは実際の長さを決めるのではなく、同じ割合で比べるための目盛りです。ECは下底BCの一部ですから、ADとECは平行です。

A、G、Cは一直線上、D、G、Eも一直線上です。ADとECが平行なので、三角形ADGと三角形CEGは相似です。したがって、DG：GE＝AD：EC＝6：4＝3：2です。

また、DF：FC＝3：2です。三角形DCEで、Gは辺DEを3：2に、Fは辺DCを3：2に分けています。Dから見た分け方が等しいので、GFとECは平行です。三角形DGFと三角形DECは相似になり、GF：EC＝DG：DE＝3：5です。よって、GFは4目盛りの3/5で、12/5目盛りです。

GFとBEは平行で、G、H、Eは一直線上、F、H、Bは一直線上です。三角形GHFと三角形EHBは相似なので、GH：HE＝GF：BE＝12/5：3＝4：5です。

GHを8目盛り、HEを10目盛りとすると、GEは18目盛りです。DG：GE＝3：2より、DGは27目盛りです。点はD、G、H、Eの順に並ぶため、DHは27＋8＝35目盛りです。したがって、DH：HE＝35：10＝7：2です。

上でそろえた目盛りをそのまま読むと、DG：GH：HE＝27：8：10です。確かめると、GEは8＋10＝18目盛りなのでDG：GE＝27：18＝3：2、またGH：HE＝8：10＝4：5となり、どちらも初めの比と一致します。DE全体も27＋8＋10＝45目盛りです。

GHとDEは同じ直線上にあり、三角形GHCと三角形DECはCからその直線までの高さが同じです。したがって、面積比はGH：DE＝8：45です。

次に、三角形DECと台形ABCDは高さが共通です。三角形DECの面積は「EC×高さ÷2」、台形ABCDの面積は「（AD＋BC）×高さ÷2」なので、その比は4：（6＋7）＝4：13です。よって、三角形GHCは台形ABCDの8/45×4/13＝32/585倍です。

確認済みの答えは、（1）7：2、（2）27：8：10、（3）32/585倍