鴎友学園女子中学校2026年度第1回算数の大問3です。

1から5の数字を使い、同じ数字を連続させない5桁の整数を数える場合の数です。問題の条件を順に整理していきます。

問題

以下の問題図版は、解説のために鴎友学園女子中学校の公表問題から引用しています。

公式の問題と解答は、学校の公表資料でも確認できます。
問題（PDF）
解答（PDF）

（1）整数は全部で何個できるか

「連続して並べることはできない」とは、同じ数字を隣り合う2つの位に置けないという意味です。離れた位なら同じ数字を何回使ってもよいので、たとえば12121は条件に合います。

一万の位には、1、2、3、4、5のどれでも置けるため、5通りあります。使える数字に0がないので、先頭に置けない数字を考える必要はありません。

千の位は、一万の位と異なる数字にしなければならないので、残りの4通りです。百の位も、比べるのはすぐ左の千の位だけです。それより前に使った数字は再び使えるため、百の位も4通りあります。同じ考え方で、十の位と一の位も、それぞれすぐ左の数字以外から選ぶ4通りです。

したがって、左から順に各位を決めると、できる整数の個数は、

5×4×4×4×4＝1280（個）

です。確かめとして、先頭の数字を1つに決めると、残り4つの位は4×4×4×4＝256通りです。先頭は5通りなので、256×5＝1280となり、同じ結果になります。

（2）2つの数字だけを使う場合

ここでは、1、2、3、4、5のうち、異なる2つの数字を選び、その2つをどちらも使います。2つの数字の選び方は、1つ目が5通り、2つ目が残り4通りですが、「1と3」と「3と1」は同じ組です。どの組も2回ずつ数えているので、

5×4÷2＝10（組）

となります。

選んだ2つの数字だけを使い、同じ数字を隣り合わせないためには、2つを交互に置くほかありません。たとえば1と3を選んだときは、13131と31313の2通りです。先頭をどちらにするか決めれば、残り4つの位は自動的に決まります。また、5桁の中には選んだ2つの数字が必ず現れるので、「2つの数字だけを使う」という条件も満たします。

よって、10組のそれぞれに2通りずつあるため、

10×2＝20（個）

です。先頭を5通り、交互に置くもう一方の数字を4通りと考えても、5×4＝20となって確かめられます。

答え

（1）1280個、（2）20個