洗足学園中学校2026年度第1回算数の大問2です。

整数をかけたときの一の位の変化を周期で整理し、条件に合う1桁の整数を求める問題です。問題の条件を順に整理していきます。

問題

以下の問題図版は、解説のために洗足学園中学校の公表問題から引用しています。

公式の問題と解答は、学校の公表資料でも確認できます。
問題（PDF）
解答（PDF）

角かっこの意味を整理する

角かっこは、中の整数そのものではなく、その一の位の数字を表します。たとえば、[47]＝7です。この問題の左側は、求める1桁の整数を3回かけた積の一の位です。右側は、7を9回かけた積の一の位です。等号は、左右の積が同じという意味ではなく、左右の一の位が同じという意味です。

7を9回かけたときの一の位

大きな積をすべて計算する必要はありません。一の位どうしをかければ、次の一の位が分かります。7を1回かけたときは7です。2回では7×7＝49なので9、3回では一の位だけを見て9×7＝63なので3、4回では3×7＝21なので1です。

5回では1×7＝7となり、1回目と同じ数字に戻ります。その後も同じ変化をするので、一の位は「7、9、3、1」の4個をひとまとまりとして繰り返します。9÷4＝2あまり1です。9回目は、2まとまりが終わった後の1番目に当たるため、一の位は7です。

0から9までを確かめる

次に、同じ1桁の整数を3回かけたとき、一の位が7になるものを探します。調べる範囲は、両端の0と9も含む0から9までです。一の位だけを並べると、0、1、2、3、4、5、6、7、8、9をそれぞれ3回かけた結果は、順に「0、1、8、7、4、5、6、3、2、9」となります。

この中で7になるのは、3を3回かけた場合だけです。実際に3×3×3＝27なので、左側の一の位は[27]＝7です。右側も、7を9回かけた積の一の位が7でした。したがって、等号の左右はともに7となり、条件を満たします。また、0から9までのほかの候補には結果が7になるものがないため、答えは3だけです。0から9までを一つずつ確かめたので、ほかの答えが残ることもありません。

答えは3