投稿者「kanri」のアーカイブ

ばねに関する問題

2025年 開成中学の問題です。

金属線の太さ(断面の面積)やばねの太さ、巻き数を変えながら図1のようなばねをつくりました。図2のように、つくったばねの一端を水平な床に固定し、他端におもりをのせてばねの長さの変化を測定しました。測定の際、ばねは常に床に対して垂直でした。ばねの重さは無視できるものとして、以下の問いに答えなさい。

問1 金属線の太さを0.08mm2、ばねの太さを16mm2、巻き数を27回にしてばねをつくり、ばねにのせるおもりの重さを変えてばねの長さを測定しました。表1はその結果を表しています。「ばねの長さを1cm縮めるのに必要なおもりの重さ[g/cm]」を答えなさい。答えは四捨五入して整数で求めなさい。このようにして求めたものを、以下では「ばね定数」と呼ぶことにします。

【解説と解答】
10gで0.25cm、20gで0.5cm縮んでいます。
求める値はばねの長さを1cm縮めるのに必要な重さですから、1cm縮めるには1÷0.25×10=40gです。
(答え)40

問2 金属線の太さを0.12mm2、ばねの太さを16mm2にしてばねをつくり、ばねの巻き数を変えながらばね定数を測定しました。表2はその結果を表しています。ばねの巻き数が80回であるときのばね定数[g/cm]を答えなさい。答えは四捨五入して整数で求めなさい。

【解説と解答】
表からばねの巻き数とばね定数は反比例しています。
したがってばねの巻き数が80回のときは\frac{1}{8}になるので、243×\frac{1}{8}=30.375≒30
(答え)30

問3 ばねの太さを9mm2、巻き数を60回にしてばねをつくり、金属線の太さを変えながらばね定数を測定しました。表3はその結果を表しています。ばね定数が121.5 g/cm であるときの金属線の太さ[mm2]を答えなさい。答えは四捨五入して小数第2位まで求めなさい。

【解説と解答】

金属線の太さが3分の4倍になると、ばね定数は9分の16倍、2倍になると4倍になっています。
54:121.5=4:9ですから、金属線の太さは\frac{3}{2}倍にすればよいので、0.09×\frac{3}{2}=0.135≒0.14

(答え)0.14mm2

問4 金属線の太さを0.30mm2、巻き数を50回にしてばねをつくり、ばねの太さを変えながらばね定数を測定しました。表4はその結果を表しています。ばねの太さが81mm2であるときのばね定数[g/cm]を答えなさい。答えは四捨五入して整数で求めなさい。

【解説と解答】

ばねの太さ 9 36 144 255
3×3 6×6 12×12 15×15
ばね定数の割合 1 \frac{1}{8} \frac{1}{64} \frac{1}{125}
ばね定数 720 90 11.25 5.76

となるので、ばねの太さがn×n倍になると、ばね定数の割合は\frac{1}{n}×\frac{1}{n}×\frac{1}{n}になります。

81mm2は9mm2の3×3倍なので、ばね定数は\frac{1}{27}になるから、720÷27=26.666≒27g/cm
(答え)27g/cm

問5 問2~問4の結果から、金属線の太さを0.16mm2、ばねの太さを36mm2、巻き数を25回にしてばねをつくったときのばね定数[g/cm]を答えなさい。答えは四捨五入して整数で求めなさい。

【解説と解答】
1) 巻き数とばね定数は反比例する。
2) 金属線の太さがn倍になると、ばね定数はn×n倍になる。
3) ばねの太さがn×n倍になると、ばね定数の割合は\frac{1}{n}×\frac{1}{n}×\frac{1}{n}になる。

問1から金属線の太さが0.08mm2、ばねの太さが16mm2、まき数27回の時ばね定数は40g/cmでした。
まず巻き数を25回にすると、\frac{25}{27}になるから、反比例なので、40×\frac{27}{25}=43.2
金属線の太さが0.16mm2なので、2倍だから、4倍になるので43.2×4=172.8

ばねの太さが36mm2なので、\frac{9}{4}倍になるから\frac{2}{3}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}\frac{8}{27}

172.8×\frac{8}{27}=51.2≒51
(答え)51g/cm

問6 輻8.7cmの箱の中に問1で使用したばね3本と幅1.1cmの仕切りを入れたところ、図3のように静止しました。図3は箱を上から見たもので、右側の2本のばねは同じ長さになりました。仕切りの左側のばねの長さ[cm]を答えなさい。答えは四捨五入して小数第1位まで求めなさい。

【解説と解答】

問1のばねは、自然長が5cmで10gについて0.25cm伸縮します。
8.7ー1.1=7.6cmが3つのばねの合計ですが、右側にかかる力を【20】gとするとそれぞれに【10】gかかるから右側のバネの長さは5-【0.25】
左側には【20】がかかるので、5ー【0.25】×2=4.5-【0.5】 合計10-【0.75】=7.6
2.4÷0.75=3.2となるので、5-3.2×0.5=3.4
(答え)3.4cm

問7 問1で使用したばねをばねaとし、ばねaの巻き数を54回にしたものをばねbとします。厚さと幅が変わらない重さ50gの板の両端A、Bをばねαとばねβで支えました。板の上のCに重さ140 g の球をのせたところ、図4のように板は水平になり、球は板の上で静止しました。「AからCまでの距離」:「CからBまでの距離」を最も簡単な整数比で答えなさい。ただし、おもりをのせないときのばねの長さは、ばねの巻き数に比例するものとします。

【解説と解答】
問1で使用したばねは、巻き数が27回でしたから、巻き数を54回にすると、ばね定数は半分になるので、ばねbのばね定数は20g/cmです。
最初の長さは巻き数に比例するので、ばねaの自然長が5cmに対してばねbの自然長は10cmです。
したがってばねbを5cmにするために5cm縮めないといけないので、20×5=100g さきにBにかけます。
さらにaとbのばね定数の比は2:1になるので、同じ割合で縮めるには2:1の重さが必要になります。
板は50gですから、25gずつAとBにかかります。
Aに【2】、Bには【1】+100gですが、板の重さを引くので、
【2】-25+【1】+75=【3】+50=140から【1】=30g
したがっておもりはAに30×2-25=35g Bには30+75=105gがかかるのでAC:CB=105:35=3:1
(答え)3:1

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田中 貴(たなかたかし)
東京教育大付属駒場中・高を経て、慶応義塾大学経済学部卒業。元修学社(学習指導会)社長。退任後複数の塾のプロデュースを担当。
フリーダムオンライン 主宰。
 

生物に関する問題

2025年 市川中学の問題です。

日本には古来より、さまざまな生き物に由来した「ことわざ」があります。その中のいくつかを以下にまとめました。ただし、生き物の一部は空欄になっており、同じ数字の空欄には、同じ生き物があてはまります。

・( 1 )( 2 )年( 3 )年
・( 4 )で食う①も好き好き
・( 5 )の子は( 5 )
・( 6 )に睨まれた( 5 )
・( 7 )も鳴かずば撃たれまい
・( 8 )に小判
・ 能ある( 9 )は爪を隠す
・( 10 )に真珠

(1)( 1 )~( 4 )にあてはまる生き物すべてに共通する特徴として、誤っているものはどれですか。
ア 花が咲く   イ 光合成を行う  ウ 子葉が1枚である   エ 根・茎・葉の区別がある  オ 果実をつくる

(2)下線部①の[虫]は、昆虫を示しています。昆虫について正しい文はどれですか。
ア 成虫のからだは頭部・背部・腹部の3つに分けられる。
イ 成虫の多くは2枚のはねと6本の脚をもつ。
ウ すべて「卵→幼虫→さなぎ→成虫」の順で育つ。
エ 幼虫から成虫までを水中で生活する昆虫もいる。
オ 陸上では肺呼吸を行う昆虫もいる。

(3)( 5 )にあてはまる生き物について、分類上もっとも近い生き物はどれですか。
ア アカハライモリ      イ カモノハシ        ウ ジョロウグモ
エ ニシキゴイ       オ ニホンヤモリ

(4)( 5 )~( 10 )にあてはまる生き物のうち、卵を産む恒温動物はどれですか。 すべて選び、5~10の数字で答えなさい。

また、ことわざの中には、ヒトのからだに由来したものもあります。その中のいくつかを同じようにまとめました。ただし、からだの部位の一部は空欄になっており、同じ数字の空欄には、同じからだの部位があてはまります。

・( 11 )の上のたんこぶ
・( 11 )は( 12 )ほどに物を言う
・( 12 )は災いの元
・ 壁に( 13 )あり障子に( 11 )あり
・ 寝( 13 )に水。
・ ②五臓六腑に染み渡る
・ 暖簾に( 14 )押し
・ 揚げ( 15 )をとる

(5)( 11 )~( 13 )にあてはまるからだの部位を答えなさい。

(6)下線部②のうち「五臓」とは、東洋医学において、心臓・肺臓(肺)・肝臓・ 腎臓・脾臓を示すといわれています。次のヒトのからだの図の中で、「五臓」に含まれるものをすべて選びなさい。

(7)( 14 )と( 15 )にあてはまるからだの部位について、ヒト以外の多くの哺乳類では、どちらも「脚」に相当します。「脚」が( 14 )であることによる利点を15字以内で答えなさい。

【解説と解答】
(1)1 桃 2 栗 3 柿 4 蓼です。1〜4は全部双子葉ですから、ウの単子葉があてはまりません。
(答え)ウ

(2)昆虫について正しいものです。あてはまるものですからエ。アは背部となっているので、気をつけましょう。イは4枚の羽もいます。ウは不完全変態の昆虫もいるから、あてはまりません。肺呼吸の昆虫はいません。
(答え)エ

(3)5はカエルで両生類ですから、イモリ。イモリは井戸を守るので両生類、ヤモリは家を守るのでは虫類と覚えると良いでしょう。
(答え)ア

(4)卵を産む恒温動物は鳥類です。7の雉、9の鷹。
(答え)7、9

(5)目の上のたんこぶ。目は口ほどに物を言う、口は災いの元。壁に耳あり障子に目あり。が元のことわざです。
(答え)11 目 12 口 13 耳

(6)肺がア。肝臓がウ。心臓、じん臓、脾臓は見えていません。エはすい臓。
(答え)ア、ウ

(7)14は腕。15は足。手が使えるということの利点は道具を使えることです。
(答え)道具を使うことができる。

この問題の動画解説は